Número

Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad (de una magnitud). El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra. Los números se usan en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos.

Los números más conocidos son los números naturales, que se usan para contar. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si se incluyen todos los números que pueden expresarse con decimales pero no con fracciones de enteros (irracionales), se habla entonces de los números reales; si a éstos se les añade los números complejos, se obtendrán todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Pueden añadirse también los infinitos, los hiperreales y los transfinitos. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:
Números naturales
Número primo
Números compuestos
Números perfectos
Números enteros
Números pares
Números impares
Números racionales
Números reales
Números irracionales
Números algebraicos
Números trascendentes
Números hiperreales
Números complejos
Cuaterniones
Números infinitos
Números transfinitos
Números negativos
Números fundamentales: π y e

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:
Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.
Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.
Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.

Más formalmente, en The concept of number, el matemático Frege realiza una definición de «número», la cual fue tomada como referencia por muchos matemáticos (entre ellos Russell, cocreador de principia mathematica):
«n» es un número, es entonces la definición de «que existe un concepto “F” para el cual “n” aplica», que a su vez se ve explicado como que «n» es la extensión del concepto «equinumerable con» para «F», y dos conceptos son equinumerables si existe una relación «uno a uno» (véase que no se utiliza el símbolo «1» porque no está definido aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros términos).

Véase también que Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ven inhabilitados para definir al número como la expresión de una cantidad, porque la simbología matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el hecho de «cantidad» referiría a algo numerable, mientras que números se adoptan para definir la cardinalidad de, por ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (el continuo).

Peano, antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los números naturales, explícita que supone sabida una definición (quizás debido a su «obviedad») de las palabras o conceptos cero, sucesor y número. De esta manera postula:
0 es un número,
el sucesor de todo número es un número,
dos números diferentes no tienen el mismo sucesor,
0 no es el sucesor de ningún número,
y la propiedad inductiva.

Sin embargo, si uno define el concepto cero como el número 100, y el concepto número como los números mayores a 100, entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habría querido comunicar, sino a su formalización.
La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo mayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege.

Su origen se pierde en la noche de los tiempos y aunque todo apunta a que hay que buscarlo en la necesidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, constatándose aún no hace mucho la existencia de tribus primitivas que solo distinguían entre 1, 2 y muchos. Por otra parte tampoco es probable que surgiese sólo en un lugar y después se extendiese.

El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en huesos: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37.000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en once grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen una de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares. En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos.

El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.

En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:
Sistemas de notación aditiva. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judío.
Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino clásico, asirio, armenio, etíope y maya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos.
Sistemas de notación posicional. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300 a. C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a. C.

En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema de numeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo n / n + 1. Hay tablas de descomposición de 2 / n desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo 2 / 5 = 1 / 3 + 1 / 15 ó 2 / 7 = 1 / 4 + 1 / 28, no sabemos por qué no utilizaban 2 / n = 1 / n + 1 / n pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que 1 / n.

Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacían por "duplicaciones" y "mediaciones", por ejemplo 69x19=69x(16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación.

En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, antes referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para , ó con una representación basada en la interpretación del problema.
Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas de que disponían: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijó, etc. Por ejemplo para calcular a, tomaban su mejor aproximación entera a1, y calculaban b1 = a / a1 (una mayor y otra menor) y entonces a2 = (a1 + b1) / 2 es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos b2 = a / a2 y a3 = (a2 + b2) / 2 obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de a3 partiendo de a1 = 1;30 (véase algoritmo babilónico).
Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percataron del desarrollo periódico.

Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:

Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como p / q con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que d2 = s2 + s2 , (d / s)2 = p2 / q2 = 2, entonces p2 = 2q2 y por tanto p2 debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos p = 2r, entonces 4r2 = 2q2 y 2r2 = q2, entonces q2 es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.

La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.
El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón a / b = c / d si dados dos números naturales cualesquiera m y n, si ma = nb entonces mc = nd (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).
En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las m / n tales que ma = nb y las que ma = nb.

En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden, por ejemplo, en el sistema babilónico el número 22, sobre base 60 puede ser ó . A veces, se utilizó la posición vacía para evitar este problema _ _ _; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no fallar.
Hacia el siglo III a. C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una "o" que significa Oudos (vacío), y que no dio origen al cero ya que este surge en la India mucho antes. La única notación ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío.
En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a. C. Se trata de una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).

Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así por ejemplo para el cociente establece:
Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)

No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica y su mezcla de lo práctico con lo formal.
Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado.
Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.

Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225), Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: 1,1,2,3,5,8,...,un con un = un − 1 + un − 2.

No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de éstos últimos.

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos, desarrolla una raíz cuadrada en fracciones continuas como hoy: Queremos calcular N y sea a el mayor número cuyo cuadrado es menor que N y b = N − a2, tenemos: N − a = (N − a2) / (N + a) = b / (2.a + N − a) = b / (2.a + (b / 2.a + ...)) que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a ... Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4), 4+(8/33)...
Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les podía aproximar fácilmente mediante números racionales.